Александр, насколько я понимаю, само push сообщение получит то приложение, которому оно предназначено и его трогать нет необходимости, а вот уведомление, которое выдаст банковское приложение, должно читаться вполне штатными средствами. И разрешения на доступ к уведомлениям штатным образом выдаются. Очень много программ этим пользуется, совсем не обязательно, относящихся к финансам. И журнал уведомлений в андроиде есть, т.е. они никуда бесследно не пропадают.